L’incomplétude radicale des sciences

Les mathématiques savent qu’elles sont incomplètes et que le monde n’est pas mathématisable, à moins de tenter de mobiliser une infinité de mathématiques : la géométrie dès le début du XIXème siècle avec les géométries non-euclidiennes de Bolyai, Lobatchevski et Riemann, l’arithmétique dans les années 1930 avec les théorèmes d’incomplétude de Kurt Gödel et la théorie des ensembles vers 1960 à la suite des travaux de Paul Cohen sur les propositions indécidables.

La véritable rupture vient de l’abandon de la théorie complète de l’espace, à savoir la géométrie euclidienne qui tenait comme absolument sûr le principe de non-contradiction d’Aristote, et qui a régné pendant vingt siècles, c’est-à-dire que le cinquième postulat d’Euclide (par un point extérieur à une droite, il passe une seule parallèle, énoncé de Proclus au IVème siècle) était vrai et non son contradictoire. C’est la résolution de l’affaire des parallèles, à savoir la compréhension du cinquième postulat d’Euclide comme véritable postulat et non pas comme théorème découlant des quatre premiers postulats, qui ouvrit la voie. C’est seulement vers les années 1860 que la communauté des mathématiciens admet enfin les géométries non-euclidiennes. Pour les géomètres du XIXème siècle, la fin de la polémique sur les parallèles indique l’entrée dans une crise totalement nouvelle dans l’histoire des idées qui touchent aux fondements mêmes  de la pensée de l’homme de science (Jean-Louis Léonhardt). Ainsi, aucune connaissance a priori, comme la philosophie de Kant le postule, ne peut être alors affirmée. Janos Bolyai écrivit à son père en 1825: j’ai créé un nouveau monde, un autre monde, à partir de rien. Dans la géométrie elliptique de Bernhard Riemann, le concept de parallèle n’existe pas, ni non plus le rectangle.

Le formalisme mathématique a découvert alors ses limites internes. Et à partir du XIXème siècle, les mathématiciens incluent le paradoxe dans leurs recherches, développent la logique, et s’adonnent à la raison antagoniste. La première des sciences sait depuis deux siècles qu’elle ne peut appréhender la totalité du réel, mais elle ne l’a pas crié sur les toits.  Carl Friedrich Gauss, le prince des mathématiques, avait compris que les fondements de la science étaient remis en cause, et pour cette raison n’a rien voulu publier de son vivant. Et David Hilbert espérait toujours au début du XXème siècle que les mathématiques pouvaient répondre de tout, en éliminant du monde une fois pour toutes les questions des fondements. Au congrès de mathématiques de Barcelone en 1928, il affirme encore : la théorie de la démonstration (qu’il élabore) renforce la conviction de l’absence de toute limite à la compréhension mathématique. (…) Il n’existe pas de question à laquelle on puisse répondre par un « ignorabimus » définitif ; il existe une réponse à toute question sensée. Mais cette prétention sera mise en échec par les travaux de Kurt Gödel, qui démontrera, en 1931, dans son fameux théorème d’incomplétude que toute axiomatique cohérente incluant l’arithmétique  est nécessairement incomplète. La question des fondements demeure donc et est mathématiquement insoluble.

Les modèles aujourd’hui ne prétendent plus décrire le monde tel qu’il est. Le discours de la physique à propos de la nature ne contient que deux choses, nous dit Marcel Conche : des équations mathématiques et des métaphores. La mathématisation, aujourd’hui d’une grande sophistication et d’une remarquable efficacité, n’est valable qu’au sein de la fiction que la science nous raconte et dans laquelle la plupart des phénomènes naturels trouvent effectivement une explication rationnelle, mais souvent au prix d’approximations et d’hypothèses ad hoc, comme des filtres, qu’il ne faut jamais oublier. Les lois de la nature dont nous parlent les sciences sont celles d’une nature immuable, simplifiée, voire étriquée. La simplification est indispensable à l’intelligibilité. Mais, elle conduit nécessairement à l’objectivation. Pour Henri Poincaré, la science marche vers l’unité et la simplicité, et pour cela il faut présupposer la nature finie, dont la complexité se résoudrait in fine en simplicité.  Or, la nature est éloquente de promesses secrètes, et chaque chose dans l’univers avance par indirection. Il n’y a pas de lignes droites (Ralph Waldo Emerson). La nature enveloppe l’infini (Marcel Conche). Et c’est la complexité qui a le dernier mot.

De fait, la science ne constate dans le réel que ce qu’elle y a elle-même introduit (Léon Chestov).

Il en est ainsi des mathématiques qui sont fabriquées par l’esprit humain, et dont on nie couramment l’origine empirique, en affirmant, sans que cela ne puisse jamais être assuré, la coïncidence entre cette invention de notre cerveau et une réalité structurelle de l’univers.
Albert Einstein, cité par son biographe Philippe Franck, est plus prudent : reconnaissons qu’à la base de tout travail scientifique d’une certaine envergure se trouve une conviction bien comparable au sentiment religieux, celle que le monde est intelligible. N’oublions pas que c’est Thalès, il y a 2 500 ans, qui le premier le suggéra. Pour Jean Ladrière, le problème du statut d’intelligibilité du modèle s’avère identique au problème de la correspondance entre modèle et réalité. Et Pour Bernard d’Espagnat, on peut seulement inférer la conjecture selon laquelle nos grandes lois mathématiques seraient des reflets grossièrement déformés, ou des traces non déchiffrables en certitude, des grandes structures du réel, comme notamment les célèbres équations de Maxwell. La puissance des mathématiques demeure une énigme, à ce point que le physicien Eugene Wigner parle d’une efficacité déraisonnable. Cette question, insoluble, agite et agitera encore longtemps les mathématiciens, les physiciens et les philosophes des sciences.

Ce texte est extrait de l’ouvrage « Métamorphose de nos institutions publiques » écrit par Olivier Frérot et publié en 2016 par Chronique sociale

https://solidaritesemergentes.wordpress.com/metamorphose-de-nos-institutions-publiques-quand-lalterite-renouvelle-la-fraternite/

 

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